рівняння максвела в інтегральній формі

При помощи формул Остроградского-Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Назва	СГС	СІ	Примірне словесне вираження
Закон Гауса	$oint_smathbf{D}cdot dmathbf{s}=4pi Q$	$oint_smathbf{D}cdot dmathbf{s}= Q$	Поток электрической индукции через замкнутую поверхность sпропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v , который окружает поверхность s .
Закон Гауса для магнітного поля	$oint_smathbf{B}cdot dmathbf{s}=0$	$oint_smathbf{B}cdot dmathbf{s}=0$	Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон індукції Фарадея	$oint_lmathbf{E}cdot dmathbf{l}=$ $-frac{1}{c}frac{d}{d t}int_s mathbf{B}cdot dmathbf{s}$	$oint_lmathbf{E}cdot dmathbf{l}=$ $-frac{d}{d t}int_smathbf{B}cdot dmathbf{s}$	Зміна потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l , который является границей поверхности s .
Теорема про циркуляцію магнітного поля	$oint_lmathbf{H}cdot dmathbf{l}=$ $frac{4pi}{c} I+frac{1}{c}frac{d}{d t}int_smathbf{D}cdot dmathbf{s}$	$oint_lmathbf{H}cdot dmathbf{l}=$ $I+frac{d}{d t}int_smathbf{D}cdot dmathbf{s}$	Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l , который является границей поверхности s .

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введені позначення:

- двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера - Максвелла (её границей является замкнутый контур ).
- электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ - Кл);
$I=int_s mathbf{j}cdot dmathbf{s}$ - электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ - А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади dmathbf{s} направлен из объёма наружу. Орієнтація при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, "вкручивающегося" при повороте в направлении обхода контурного интеграла по dmathbf{l} .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции mathbf{E}, mathbf{B}, mathbf{D}, mathbf{H} являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.