2.2.1. Розподіл Максвелла ― Больцмана та його аналіз.
2.2.2. Розподіли Больцмана. Барометрична формула.
2.2.3. Розподіл Максвелла молекул за швидкостями. Найбільш імовірна швидкість молекул. Середня і середньоквадратична швидкості газових молекул.
2.2.1. Розподіл Максвелла ― Больцмана та його аналіз
Класичний розподіл Максвелла ― Больцмана можна одержати скориставшись квантовим розподілом Фермі ― Дірака і густиною станів. Запишемо ці вирази :
(2.2.1)
де – імовірність заповнення квантових станів частинками; E – повна енергія частинок; m ― хімічний потенціал;
(2.2.2)
де ― густина станів в енергетичній зоні; s ― спін мікро- частинки; р ― імпульс мікрочастинок; dV – об’єм мікростану в просторі координат; – похідна імпульсу за енергією; h – стала Планка.
Якщо Т >> 0, то >>1. В цьому випадку формула (2.2.1) переписується так:
(2.2.3)
Повну енергію Е в цьому випадку виразимо через кінетичну енергію e і потенціальну енергію U, тобто
(2.2.4)
З урахуванням (2.2.4) вираз (2.2.3) матиме вигляд
(2.2.5)
Знайдемо число частинок в системі, скориставшись таким співвідно-шенням
(2.2.6)
де А – деяка константа; g(E) – густина станів в енергетичній зоні; f(E) – імовірність заповнення цих станів мікрочастинки; dE – ширина енергетичного інтервалу.
Підставимо в (2.2.6) значення g(E) і f(E), одержимо
(2.2.7)
де враховано, що .
З правого боку виразу (2.2.7) чітко спостерігається поділ на дві частини, одна з яких залежить лише від потенціальної енергії частинок системи, а друга лише від кінетичної енергії. Вираз (2.2.7) називають класичним розподілом Максвелла ─ Больцмана.
2.2.2. Розподіл Больцмана. Барометрична формула
Ліву частину рівності (2.2.7) за аналогією з правою частиною запишемо так:
(2.2.8)
де dN(u) – число частинок системи, енергія яких є лише потенціальною енергією; dN(e ) – число частинок системи енергія яких є лише кінетичною.
Це дає право поділити рівність (2.2.7) на дві частини, а саме:
(2.2.9)
і
(2.2.10)
У виразі (2.2.9) dN(u) – означає кількість частинок системи, потенціальна енергія яких змінюється в межах від U до U + dU. У виразі (2.2.10) dN(e ) – визначає кількість частинок, кінетична енергія яких змінюється в межах від e до e + de.
Вираз (2.2.9) називають класичним розподілом Больцмана частинок системи за потенціальними енергіями. Вираз (2.2.10) називають класичним розподілом Максвелла частинок за кінетичними енергіями.
Покажемо, що з розподілу Больцмана (2.2.9) легко одержати залежність концентрації частинок в потенціальному полі і барометричну формулу, тобто залежність тиску газової системи від висоти h.
Поділимо ліву і праву частини (2.2.9) на dV, одержимо :
Величина ― концентрація молекул газової системи. У випадку коли U = 0, то n = n0, тобто
З урахуванням цих позначень розподіл Больцмана матиме вигляд :
. (2.2.11)
З молекулярно-кінетичної теорії відомо, що p = nkT, а тому і p0 = n0 kT. Після підстановки n і n0 з цих формул в (2.2.11) одержимо барометричну формулу, залежність тиску газової системи від висоти у потенціальному полі
(2.2.12)
де p – тиск газу на деякій висоті h; p0 – тиск газу на рівні, коли h = 0; mgh = U – потенціальна енергія в деякому потенціальному полі.
2.2.3. Розподіл Максвелла молекул за швидкостями. Найбільш імовірна швидкість молекул. Середня і середньоквадра-тична швидкості молекул
В розподілі Максвелла частинок за кінетичними енергіями (2.2.10) виразимо р і e через швидкості газових молекул , а також визначимо нормувальний коефіцієнт А2.
Оскільки , і , то
(2.2.13)
Проінтегруємо цей вираз в межах зміни від 0 до N, а зміни швидкості від 0 до ∞, одержимо:
.
Інтеграл , тому
(2.2.14)
З цього виразу визначимо нормувальний коефіцієнт А2, тобто
Підставимо значення цього коефіцієнта в (2.2.13), одержимо
, (2.2.15)
Після відповідного скорочення та незначного перетворення одер-жимо розподіл Максвелла молекул за швидкостями
. (2.2.16)
Фізично розподіл Максвелла визначає частку молекул від загального числа молекул швидкості яких перебувають в межах значень від до . Графічно розподіл Максвелла газових молекул за швидкостями має вигляд, показаний на рис.2.6.
Рис. 2.6
Залежність носить назву функції розподілу Максвелла. Власне на рис. 2.6 показаний графік залежності функції розподілу Максвелла від швидкості газових молекул, тобто .
Заштрихована частина під розподілом Максвелла визначає величину імовірності числа частинок системи, швидкості яких перебувають у межах від до . Зрозуміло, що вся площа під розподілом Максвелла відповідає імовірності, рівній одиниці.
Дослідимо функцію розподілу Максвелла на максимум. Для цього похідну функції Максвелла за швидкостями прирівняємо до нуля
або , звідки
.
Після скорочення одержуємо найбільш імовірну швидкість
. (2.2.17)
Швидкість (2.2.17) означає, що більшість молекул газової системи мають саме таку швидкість. На рис 2.6 ця швидкість характеризує пік роз-поділу.
Для визначення середньої швидкості газових молекул слід скориста-тися формулою (2.1.6). Середня швидкість газових молекул у відповідно-сті з цією формулою буде дорівнювати
,
або
Після відповідних перетворень одержимо середню швидкість молекул:
. (2.2.18)
Для знаходження середньоквадратичної швидкості виконаємо розрахунок аналогічно формулі (2.1.7)
,
або
тому
.
Середньоквадратична швидкість молекул газової системи буде дорівнювати
. (2.2.19)
З цих міркувань можна зробити висновок, що будь-яку газову сис-тему можна характеризувати трьома різними значеннями швидкостей молекул :
- найбільш імовірна швидкість молекул
;
- середня швидкість молекул
;
- середньоквадратична швидкість молекул
.
Домножимо чисельник і знаменник правої частини кожної із формул швидкостей газових молекул на число Авогадро Na. З урахуванням того, що і , одержимо :
;
;
,
де m ― маса однієї молекули; к ― стала Больцмана; Т ― абсолютна температура; R ― газова стала; ― молярна маса газу.
