1.3.1. Рух вільної частинки.

1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику.

1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.

1.3.4. Проходження  частинки крізь потенціальний бар’єр.               Тунельний ефект.

 

1.3.1. Рух вільної частинки

 

         Найпростішим рухом квантової частинки  є вільний рух. Прикладом такого руху є рух електронів в металах і напівпровідниках. В цьому випадку потенціальна енергія частинок дорівнює нулю. При вільному русі повна енергія частинки збігається з кінетичною, а її швидкість є сталою величиною. Такому рухові в класичній механіці відповідає рівномірний і прямолінійний рух.

         Нехай рівномірний рух квантової частинки відбувається в напрямі осі х, яка збігається з напрямком вектора швидкості. Стаціонарне рівняння Шредінгера для вільної частинки запишеться:

 

                                   (1.3.15)

 

де  m ― маса частинки;  Е ― повна енергія частинки.

         Рівняння (1.3.15) є диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами, розв’язком якого може бути функція

 

                                                  (1.3.16)

    

де  А і к ― сталі  величини;  і ― уявна  одиниця.

          Підстановка (1.3.16) в (1.3.15) дасть тотожність

 

   

звідки                                  

                                                      (1.3.17)

У співвідношенні (1.3.17)  к - хвильове число хвиль де Бройля; Е ― повна енергія частинки;  m ― маса частинки.

         Енергія вільної частинки з рівності (1.3.17) дорівнює

 

                                                   (1.3.18)

         Хвильове число к може набувати довільних значень, тому що вільні частинки в системі можуть мати практично будь-які постійні швидкості. Це говорить про те, що енергетичний спектр вільних частинок є суцільним.

         Густина імовірності перебування вільної частинки в довільних точках осі х дорівнює

 

де  - комплексно спряжена хвильова функція. Звідки

 

 

Густина імовірності вільної частинки в будь-якій точці осі х є сталою величиною. Невизначеності вільної частинки в координаті в такому випадку дорівнюють безмежності. Цей висновок є добрим підтвердженням співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

 

1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику

 

         Розглянемо приклад просторово-обмеженого одновимірного руху квантової частинки в глибокому потенціальному ящику з вертикальними стінками, шириною l. Потенціальна енергія електрона зовні і всередині такого ящика має наступні значення:

                                         

    U(x)=0   при   0<x<l,                                       (1.3.19)

                                          U(x)=¥  при  x£0 й x³ l .    

                                                                                                           

Графік залежності потенціальної енергії частинки U(x)  від х показаний на   рис 1.5.

         Частинка в такому ящику може вільно рухатись на ділянці 0<х<l. На кінцях цього інтервалу вона стикається з абсолютно твердими стінками. Непрозорість цих стінок визначається необмеженим ростом потенціальної енергії U(x) в точках х=0  і х=l.

                                                          Рис. 1.5

        

Прикладом руху електрона в потенціальному ящику може бути рух колективізованих електронів усередині металу. Як відомо, у класичній електронній теорії вважали, що поза металом потенціальна енергія електрона дорівнює нулю, а всередині металу ― вона від’ємна і чисельно дорівнює роботі виходу електрона з металу. Інакше кажучи, вважали, що рух електронів обмежений потенціальним бар’єром прямокутної форми з плоским дном. У нашому випадку потенціальний ящик значно простішої форми ніж реальний випадок електрона в металі.

         Оскільки частинка не виходить за межі ділянки 0 < х < l, то імовірність знайти її за межами цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних станів можна доповнити граничними умовами  і

         Запишемо рівняння Шредінгера для частинки в потенціальному ящику

 

                               (1.3.20)

 

де  m ― маса частинки;  ― стала Дірака; Е ― повна енергія частинки;        Y(х) ― хвильова функція.

         Введемо позначення 

                                           (1.3.21)

 

де  к ― хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває всередині потенціального ящика.

         Рівняння (1.3.20) набуде вигляду

 

.                                           (1.3.22)

 

         Знайдемо розв’язок рівняння (1.3.22), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь гармонічних коливань, у тригонометричній формі

 

                                       (1.3.23)

 

де  А, В і С   ─  сталі величини.

З граничних умов одержуємо:

 

а)  Y(0)=0;         0=АcosB.0+CsinB.0,

 

звідки  А=0;  В¹0  і  С¹0.

 

                                   б)  Y(l)=0;  0=CsinB.l,

 

звідки при С¹0, Вl=np,  або   де  n = 1,2,3,...

         Хвильова функція з урахуванням граничних умов набуде вигляду:

 

                                           (1.3.24)

 

Константу С у формулі (1.3.24) знайдемо з умови нормування

 

,                                            (1.3.25)

або

.             (1.3.26)

 

Другий інтеграл у виразі (1.3.26) для будь-яких значень n дорівнює нулю, тому

,  звідки 

 

         Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику, має вигляд:

 

                                    (1.3.27)

 

При підстановці (1.3.27) у (1.3.22) одержуємо тотожність

 

,

звідки

                                       (1.3.28)

 

           Енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.3.28) дорівнює нулю.

Що ми одержали в результаті розв’язування рівняння Шредінгера? По-перше, набір псі-функцій, які залежать від квантового числа n. По-друге, значення енергії Е, при яких розв’язок рівняння Шредінгера має фізичний зміст. По-третє, розподіл імовірності виявлення частинки в різних точках осі x усередині ящика. Подібні ж результати виходять при розв’язуванні рівняння Шредінгера й в інших випадках, наприклад, для атома водню.

         Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6.

                                                 

 

 

 

 

           

                                                    

 

 

                                                              Рис. 1.6

 

         Число n у формулі (1.3.28) визначає вид хвильової функції й енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією і називається квантовим числом.  Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише  такі енергетичні рівні,  на яких на  ширині  ящика  вкладається лише

ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=np,  де   ― хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо:

 

                                             (1.3.29)

 

         Співвідношення (1.3.29) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l  вкладається ціле число півхвиль де Бройля (рис. 1.7).

 

 

 

                                                

 

 

 

                          

 

 

 

 

                                                             Рис. 1.7

 

         Незбуреному стану частинки (n=1) відповідає енергія

 

                                      (1.3.30)

 

         Значення цієї енергії  Еl>0  свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність DРх  імпульсу частинки не може бути меншою за величину

 

                                      (1.3.31)

 

         В потенціальному ящику шириною l положення частинки визнача-ється похибкою, яка сумірна  з його  шириною  Dх»l, тому 

                                   

 Dх.DРх³p,                                        (1.3.32)

 

що  перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.

         Покажемо, як залежить ширина енергетичного інтервалу DЕ  від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами      l=10-9 м власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює

 

DE=En+1-En ,

або

 Дж.

 

          В електрон-вольтах  ця енергія буде дорівнювати

 

 

 

         Цей розрахунок показує, що коли ширина потенціального ящика сумірна з розмірами атома (10-10м), енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є  дискретним.

         У випадку, коли потенціальний ящик має макроскопічні розміри         l»10-2 м, енергетичний інтервал між сусідніми рівнями буде дорівнювати

 

Дж=0,34.10-14(2n+1) eB.

 

         Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними  методами.

         Аналогічні результати можна одержати для великих квантових  чисел n. У цьому випадку проявляється  принцип відносності, встановлений Бором у 1923 р.

При великих квантових числах висновки й результати квантової     механіки збігаються з відповідними класичними результатами.

 

          1.3.3.  Гармонічний квантовий осцилятор

 

         Просторово-обмеженим є також рух квантового осцилятора. З класичної точки зору осцилятором може бути будь-яка матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили

 

F=-kx,   де  k=m.                            (1.3.33)

 

         Потенціальна енергія класичного осцилятора знаходиться за формулою

 

                                  (1.3.34)

 

де  m ― маса частинки;  ―  циклічна частота осцилятора.

Графічна залежність потенціальної енергії класичного осцилятора показана на рис. 1.8.        

                                                       Рис. 1.8

.

         З рисунка видно, що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках -а і +а кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія досягає свого максимуму. За межі області     (-а, +а)    класичний осцилятор вийти не може.

         Квантовим  осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд із корпускулярними властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки. Потенціальна енергія квантового осцилятора має ту ж математичну залежність, що і класичний осцилятор (1.3.34).

         Стаціонарне рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:

 

                                 (1.3.35)

 

де m ― маса квантової частинки;   ― власна циклічна частота; Е ― повна енергія частинки.

         Знаходження хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею. Тому, опускаючи такі розв’язки, наводимо енергетичний спектр квантового осцилятора. Він має вигляд

                                    (1.3.36)

 

де n= 0,1,2,3,... ― будь-яке ціле число, починаючи з нуля;   ― власна циклічна частота осцилятора;  ―  стала Дірака.

         Аналіз рівняння (1.3.36) показує, що енергетичний спектр квантового осцилятора є дискретним і що власні значення енергії дорівнюють:

 

 ,       ,     

 

         В енергетичному спектрі (1.3.36) проміжки між енергетичними рівнями не залежать від квантового числа n, а є однаковими

 

                 (1.3.37)

 

         Як показано на рис. 1.9,  де енергетичний спектр квантового осцилятора суміщається з аналогічним спектром класичного осцилятора, квантовий осцилятор не має значень енергії рівних нулю.

Рис.1.9

 

         Найменше значення енергії квантового осцилятора дорівнює

 

                                                .                                            (1.3.38)

 

Меншої енергії квантовий осцилятор не може мати навіть при абсолютному нулі температур.

         Покажемо наближеним способом, що енергія квантового осцилятора квантується. З рис 1.10 видно, що на відрізку l=2х0 вкладається ціле число півхвиль де Бройля, тобто

 

                                         (1.3.39)

де  ― середнє значення довжини хвилі де Бройля.    

       Звідки

                                               (1.3.40)

 

                                                                                                                                                              

                                                                                          Рис. 1.10

 

         Середнє значення імпульсу кванта хвилі де Бройля

 

                                           (1.3.41)

 

          Середня кінетична енергія такого осцилятора

 

                                       (1.3.42)

 

         Відомо, що повна енергія Е перевищує середнє значення кінетичної енергії у два рази, тобто

 

                                    (1.3.43)

 

         З іншої точки зору повна енергія квантового осцилятора дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії

 

                                  (1.3.44)

 

         Перемножимо рівності (1.3.43)  і  (1.3.44), одержимо

 

                             (1.3.45)

або

                                             (1.3.46)

         В межах точності наших міркувань »1, тому

 

                                               (1.3.47)

 

         де n =1,2,3,... ― цілі числа.

         Наближений розрахунок показує, що енергія квантового осцилятора набуває ряду дискретних значень, тобто квантується.

         Точне значення енергії для не збудженого квантового осцилятора нульового рівня можна одержати з рівняння Шредінгера (1.3.35), якщо згідно з рис. 1.10 скористатись функцією Гаусса, яка дорівнює

 

                                          (1.3.48)

 

де  а ― стала величина, яку слід  визначити.

Другу похідну від (1.3.48) підставимо в (1.3.35)

 

звідки

 .                      (1.3.49)

 

Тотожність (1.3.49) має місце у випадку рівності коефіцієнтів при х2 і вільних членів, тобто

                                      (1.3.50)

 

         Система рівнянь (1.3.50) дає можливість одержати значення енергії Е і сталої величини а

 

     .                                (1.3.51)

         Таким чином функція Гаусса є розв’язком рівняння Шредінгера (1.3.35) лише за умови коли  .

         В цьому випадку

 .                                (1.3.52)

 

         Слід відмітити, що оскільки відстань між суміжними рівнями енергії квантового осцилятора дорівнює  то з урахуванням    одержуємо енергетичний спектр квантового осцилятора у вигляді

 

                                   (1.3.53)

де  n = 0,1,2,3,...

 

1.3.4. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр. Тунельний ефект

 

         Класична частинка не може перебувати в тих місцях, де її потенціальна енергія U(x) перевищувала б повну енергію частинки E. Щодо квантової частинки, то вона має таку властивість через те, що існує відмінна від нуля імовірність проникнення її крізь потенціальний бар’єр, тобто в область, де U(x) > E.

         Проведемо оцінку цієї імовірності шляхом розв’язування такої задачі. Нехай квантова частинка з масою m, рухаючись в напрямі осі х, вдаряється в потенціальний бар’єр кінцевої висоти U0, тобто

 

причому енергія частинки Е менша висоти бар’єра U0, (рис. 1.11).

                                                          Рис. 1.11

         В області потенціального бар’єра рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду

 

                                                                  (1.3.54)

 

Якщо позначити вираз  через  , то рівняння (1.3.54) перепишеться

.                                (1.3.55)

 

Розв’язком рівняння (1.3.55) може бути функція

 

     ,                               (1.3.56)

 

де А  і  В  ─  деякі константи.

Експонента з додатним знаком фізичного змісту не має й може бути відкинута, тому що не повинно бути зростання імовірності в області потенціального бар’єра. Тому в області потенціального бар’єра (х>0), хвильова функція частинки Yx визначається рівністю

 

                                           Yx = Аe-x .                                        (1.3.57)

 

Коефіцієнт А у виразі (1.3.57) пов’язаний з інтенсивністю променя частинок, які рухаються у напрямі бар’єра, а тому задається довільно. Як правило для  х>0  координати частинок розподіляються з густиною імовірності

 

                 ,          (1.3.58)

 

де w(0) дорівнює значенню