Математическая модель – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств, векторов, матриц и т.п.) и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием.
При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы «система S – среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы, отбросив второстепенные.
При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».
Формальная модель объекта
Модель объекта (системы S) можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы:
- совокупность входных воздействий на систему
xi = X, i = ;
- совокупность воздействий внешней среды
vj = V, j = ;
- совокупность внутренних (собственных) параметров систем
hk = H, k = ;
- совокупность выходных характеристик системы
yj = Y, j = .
В общем случае xi, vj, hk, yj являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.
Входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид (t) = (x1(t), x2(t), …, xnX(t)); (t) = (v1(t), v2(t), …, vnV(t)); (t) = (h1(t), h2(t), …, hnН(t)), а выходные характеристики являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид: (t) = (у1(t), у2(t), …, уnY(t)). Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.
Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором FS, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида
(t) = FS(,,, t). (2.1)
Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени yj(t) для всех видов j = называется выходной траекторией (t). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы FS, который задается в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической, табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Алгоритмом функционирования AS называется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий (t), воздействий внешней среды (t) и собственных параметров системы (t). Один и тот же закон функционирования FS системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования AS.
Математические модели называются динамическими (2.1), если математические соотношения описывают поведение объекта (системы) моделирования во времени t, т.е. отражают динамические свойства.
Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и (X, V, H) в определенный момент, что в векторной форме может быть записано как
= f(,,). (2.2)
Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Эти соотношения могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами
' = (z'1, z'2, …, z'k) и '' = (z''1, z''2, …, z''k),
где z'1 = z1(t'), z'2 = z2(t'), …, z'k = zk(t') в момент t' Î (t0, T); z''1 = z1(t''), z''2 = z2(t''), …, z''k = zk(t'') в момент t'' Î (t0, T) и т.д. k = .
Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z1(t), z2(t), …, zk(t), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве. Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний () называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем zk Î Z.
Состояния системы S в момент времени t0 < t* £ T полностью определяются начальными условиями 0 = (z01, z02, …, z0k) [где z01 = z1(t0), z02 = z2(t0), …, z0k = zk(t0)], входными воздействиями (t), внутренними параметрами (t) и воздействиями внешней среды (t), которые имели место в промежутке времени t* – t0, c помощью двух векторных уравнений
(t) = Ф(0, , , , t); (2.3)
(t) = F(, t). (2.4)
Первое уравнение по начальному состоянию 0 и экзогенным переменным , , определяет вектор-функцию (t), а второе по полученному значению состояний (t) – эндогенные переменные на выходе системы (t). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы
(t) = F[Ф(0, , , , t)]. (2.5)
В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной Dt временных единиц каждый, когда T = mDt, где m = – число интервалов дискретизации.
Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных ((t), (t), (t)) вместе с математическими связями между ними и характеристиками (t).
Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды (t) и стохастические внутренние параметры (t) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями
(t) = f(, t). (2.6)
Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.
Типовые математические схемы
В практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри, агрегативные системы и т.д.
Типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания. Для анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов, применяют сети Петри. Для описания поведения непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем (например АСОИУ) можно применять обобщенный (универсальный) подход на основе агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.
Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы:
- непрерывно-детерминированный (D-схемы);
- дискретно-детерминированный (F-схемы);
- дискретно-стохастический (Р-схемы);
- непрерывно-стохастический (Q-схемы);
- сетевой (N-схемы);
- обобщенный или универсальный (а-схемы).
Пример моделирования системы массового обслуживания:
Система массового обслуживания – это система, состоящая из обслуживающего прибора, заявки, находящейся на обслуживании, и ожидающих обслуживания заявок. Простая система массового обслуживания, изображенная на рис. 1, характеризуется двумя независимыми случайными переменными.
Рассмотрим систему, система обслуживания с одним прибором и очередью, например состоящую из одного человека, выполняющего обслуживание определенного вида. Этот человек может быть кассиром, продающим билеты на станции, контролером в универсальном магазине, парикмахером в парикмахерской с единственным креслом. «Клиенты» приходят к такому «обслуживающему прибору» в случайные моменты времени, ждут своей очереди на обслуживание (если есть необходимость), их обслуживают по принципу «первый пришел – первым обслужен». После этого они уходят. Схематично эта ситуация показана на рис. 1, где прямоугольник – это обслуживающий прибор, а кружок внутри него – заявка, находящаяся на обслуживании.
Рис. 1. Простая система массового обслуживания
Элементом, который занимает и использует устройство, является транзакт. При этом происходят следующие события: 1) транзакт ожидает своей очереди (если необходимо); 2) транзакт занимает устройство; 3) устройство осуществляет обслуживание; 4) транзакт освобождает устройство.
Для моделирования однородных (обладающих определенными общими свойствами например, два парикмахера, работающие рядом.) параллельных приборов используют специальное устройство – многоканальное устройство (МКУ). Схематично такая ситуация представлена на рис. 2. Число приборов, которое моделируется в многоканальном устройстве, называется емкостью многоканального устройства.
Рис. 2. Три параллельно работающих прибора
В модели системы массового обслуживания может быть несколько приборов, очередей, многоканальных устройств, тогда получается сложная система массового обслуживания с разветвлениями и определенными условиями работы.
