Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы) Основные соотношения Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одного или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями частных производных, иначе при рассмотрении функции одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет '(t) = (, t); (t0) = 0, (2.7) где ' = d/dt, = (y1, y2, …, yn) и = (f1, f2, …, fn) – n-мерные векторы; (, t) – вектор-функция, которая определена на некотором (n+1)-мерном (, t) множестве и является непрерывной. Математические схемы такого вида называются D-схемами (англ. dynamic), они отражают динамику изучаемой системы, и в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, обычно служит время t. В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид: y'(t) = f (y, t). (2.8) Рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных схем различной природы: механической SM. Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением mMlM2(d2F(t)/dt2) + mMglMF(t) = 0, где mM, lM – масса и длина подвеса маятника; g – ускорение свободного падения; F(t) – угол отклонения маятника в момент времени t. а б Рис. 2.1. Элементарные системы Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника TM = 2p. Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением LK(d2q(t)/dt2) + (q(t)/CK) = 0, где LK, CK – индуктивность и емкость конденсатора; q(t) – заряд конденсатора в момент времени t. Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период электрических колебаний TM = 2p. Очевидно, что введя обозначения h2 = mMlM2 = LK, h1 = 0, h0 = mMglM = 1/CK, F(t) = q(t) = z(t), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы: h2(d2z(t)/dt2) + h1(dz(t)/dt) + h0z(t) = 0, (2.9) где h0, h1, h2 – параметры системы; z(t) – состояние системы в момент времени t. Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение маятника (системы SM) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы SК). Если изучаемая система S (маятник или контур) взаимодействует с внешней средой Е, то появляется входное воздействие x(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура), и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид: h2(d2z(t)/dt2) + h1(dz(t)/dt) + h0z(t) = x(t). (2.10) С точки зрения общей математической модели (см. п. 2.1) x(t) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т.е. выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y = z. Возможные приложения D-схемы Для описания линейных систем управления, как любой динамической системы, неоднородные дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты (2.11) где , ,…, – неизвестная функция времени и ее производные; и – известные функции. Используя, например пакет программ VisSim, предназначенный для имитационного моделирования процессов в системах управления, которые можно описать дифференциальными уравнениями, промоделируем решение обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения , (2.12) где y – некоторая искомая функция времени на отрезке [0; Т] при нулевых начальных условиях, примем h3=1, h2=3, h1=1, h0=3: . (2.13) Представив заданное уравнение относительно наивысшей из производных, получим уравнение , (2.14) которое можно промоделировать, используя набор стандартных блоков пакета VisSim: арифметические блоки – Gain (умножение на константу), Summing-Junction (сумматор); блоки интегрирования – Integrator (численное интегрирование), Transfer Function (задание уравнения, представленного в виде передаточной функции); блоки задания сигналов – Const (константа), Step (единичная функция в виде «ступеньки»), Ramp (линейно нарастающий сигнал); блоки-приемники сигналов – Plot (отображение во временной области сигналов, которые анализируются исследователем в ходе моделирования). На рис. 2.2 изображено графическое представление данного дифференциального уравнения. Входу крайнего левого интегратора соответствует переменная , входу среднего интегратора – , а входу крайнего правого интегратора – . Выход крайнего правого интегратора соответствует переменной y. Рис. 2.2. Графическое представление уравнения Частным случаем динамических систем, описываемых D-схемами, являются системы автоматического управления (САУ) и регулирования (САР). Реальный объект представляется в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2.3, где обозначены эндогенные переменные: (t) – вектор входных (задающих) воздействий; (t) – вектор возмущающих воздействий; '(t) – вектор сигналов ошибки; ''(t) – вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные: (t) – вектор состояния системы S; (t) – вектор выходных переменных, обычно (t) = (t). Управляющая система – это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект достигает заданной цели, можно судить (для одномерной системы) по координате состояния y(t). Разность между заданным yзад(t) и действительным y(t) законом изменения управляемой величины есть ошибка управления '(t) = yзад(t) – y(t). Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е. x(t) = yзад(t), то '(t) = x(t) – y(t). Системы, для которых ошибки управления '(t) = 0 во все моменты времени, называются идеальными. На практике реализация идеальных систем невозможна. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной y(t) согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). Параметры системы должны обеспечивать требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе. Если система устойчива, то анализируют поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной y(t) в переходном процессе, время переходного процесса и т.п. Порядок дифференциального уравнения и значение его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы. Рис. 2.3. Структура системы автоматического управления: УC – управляющая система; OУ – объект управления Пакет программ MATLAB предназначен для решения большого круга задач, в том числе для моделирования процессов в системах управления объектами, которые можно описать дифференциальными уравнениями или передаточными функциями. Данный пакет предоставляет исследователю богатую библиотеку SIMULINK, с помощью которой возможно моделирование сложных динамических систем. На рис. 2.4 представлен пример имитационного моделирования САР с П-регулятором с помощью SIMULINK MATLAB с использованием специальных блоков моделирования: Transfer Fcn – блок задания передаточной функции динамического звена; Transport Delay – блок транспортного запаздывания (произвольная задержка передаваемого сигнала); Gain – блок-умножитель сигнала, поступающего на его вход, т.е. блок реализующий коэффициент усиления; Sum – блок суммирования входных сигналов; Scope – блок-осциллограф используемый при моделировании в качестве «смотрового окна»; Step – блок-источник воздействия в виде одиночного перепада; Input Point – блок на входе системы для построения характеристик (переходной, весовой, частотной и т.д.); Output Point – блок на выходе системы, применятся также для построения характеристик. Рис. 2.4. Схема одноконтурной САР с П-регулятором На рис. 2.5 представлен результат моделирования – переходная характеристика замкнутой САР. Точками на графике с помощью специальных блоков MATLAB определены максимальное динамическое отклонение и время регулирования. Рис. 2.5. Переходная характеристика при базовых значениях ОУ Таким образом, использование D-схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства выч. техники.
Билет 23 Вопрос 2 Моделирование случайных воздействий на систему
Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события. Пусть имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайной величины x, равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, как состоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины x удовлетворяет неравенству xi ≤ p.
Тогда вероятность наступления события А будет 
Противоположное событие состоит в том, что xi >p. Тогда Р( ) = 1—р.
Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.
2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi, случайной величины удовлетворяет неравенству
Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями lt. Исходом испытания называется событие Аm, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., р
Пусть, независимые события А и В, поступающие с вероятностями pA и pB .Возможными исходами совместных испытаний будут события 
с вероятностями 
В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:
1) последовательную проверку условия (2);
2) определение одного из исходов по жребию
с соответствующими вероятностями.
Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия (1). Во втором варианте необходимо одно число xi, но сравнений может потребоваться больше.
Пусть события А и В являются зависимыми. События наступают с вероятностями pA и pB. Р(В/А) - условная вероятность наступления события В при что событие А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.
Из последовательности случайных чисел
