Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x, y). Под направлением мы будем понимать любой вектор 
на плоскости.
Y
b 
a
X
0
Определение 1. Направляющими косинусами данного направления 
называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления -
.
Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
.
На плоскости имеем
.
.
Если рассмотреть вектор 
, координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором 
и имеет единичную длину.
Пусть даны точка 
и направление 
. Переместим точку М0 вдоль направления 
на величину Dl в точку М1. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения.
Y M1
B b 
Dy Dl a
M0 A
Dx
X
0
Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении: 
,
Из треугольника М0 М1 А: 
.
Из треугольника М0 М1 В: 
.
.
Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен);
.
Если направление 
совпадает с направлением оси ОХ, то производная по направлению совпадает с частной производной по переменной х. Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у.
Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления.
.
Пример. Найти производную функции 
в точке М(1, 2) в направлении 
(4, -3).
.
Связь градиента с производной по направлению.
Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
.
Тогда производная 
по направлению некоторого вектора 
равняется проекции вектора gradu на вектор
