Теорема 17.1 (Теорема Ферма)
Если функция 
имеет производную и в точке 
имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.
Доказательство
Пусть - точка минимума. Тогда при 
. Значение выражения 
. Значит, 
. Рассмотрим теперь 
, при этом также 
, и выражение 
. Значит, правая производная 
. По теореме 14.5 
. Из ранее доказанного следует: 
. Теорема доказана.
 |
Геометрический смысл теоремы Ферма
Существует такая точка Замечания
|
, в которой касательная параллельна оси Ox. 
, 
- точка минимума, но 
.- Равность нулю производной - необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. То есть производная может быть равной 0 и вне точки экстремума. Пример:
, но точка 0 - не экстремум.
Теорема 17.2 (Теорема Ролля)
Пусть:
- Функция
непрерывна на отрезке 
: 
; - Для любого x из интервала
существует производная: 
; - Значения функции на концах отрезка равны:
.
Тогда существует такое 
, что производная 
.
Доказательство
- Функция непрерывна
существуют 
. - Если
, то функция 
является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана. - Если же
, то оба значения 
не могут достигаться в концевых точках, т.к. 
и 
. Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма 17.1 
Замечания:
- Существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. рисунок к теореме Ферма).
- Все условия теоремы Ролля существенны, т.е. нельзя отбростиь хотя бы одно из них
Теорема 17.3 (Первое следствие теоремы Ролля)
Пусть:
- Функция
непрерывна на отрезке 
: 
; - Функция дифференцируема на интервале
: 
; - Сужествуют
такие, что 
.
Тогда 
такие, что 
.
Доказательство
Рассмотрим отрезок 
. Данный отрезок удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Тогда 
.
Применив теорему Ролля k раз, доказываем данное следствие.
Теорема 17.4 (Второе следствие теоремы Ролля)
Пусть:
- Существует функция, имеющая n производных, непрерывных на отрезке
: 
; - Для любого x из интервала существует n+1 производная:
; - Значения
.
Тогда существует такая точка 
.
Доказательство
- По теореме Ролля для
на отрезке 
. - Рассмотрим отрезок
, на котором 
непрерывна. Тогда существует производная 
на интервале 
. Так как 
. Значит, существует точка 
такая, что 
. Рассмотрим отрезок 
, на котором 
непрерывна. Значит, 
. На n-ном шаге имеем: 
. Рассмотрим 
на 
. - Функция непрерывна на
, значит, она непрерывна и на 
: 
; - Для любого x из
существует n+1 производная: 
; - Значения ее на концах равны:
.
Данные 3 заключения удовлетворяют условию теоремы Ролля. Значит, 
.
Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что 
Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ. 
Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.
Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];
2) дифференцируемы в интервале (а ; b);
3) g'(x) ≠ 0 в этом интервале,
то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство
