1. Импульс силы. Покой и движение тела относительны, скорость движения тела
зависит от выбора системы отсчета. По второму закону Ньютона независимо от того,
находилось ли тело в покое или двигалось, изменение скорости его движения может
происходить только при действии силы, т. е. в результате взаимодействия с другими
телами.Если на тело массой m в течение времени t действует сила и скорость его движения
изменяется от до до , то ускорение движения тела равно
.
На основании второго закона Ньютона для силы можно написать выражение
. (16.1)
Из равенства (16.1) следует
. (16.2)
Физическая величина, равная произведению силы на время t ее действия,
называется импульсом силы.
Импульс тела. Выражение (16.2) показывает, что имеется физическая величина,
одинаково изменяющаяся у всех тел под действием одинаковых сил, если время
действия силы одинаково. Эта физическая величина, равная произведению массы тела
на скорость его движения, называется импульсом тела или количеством движения.
Изменение импульса тела равно импульсу силы, вызывающей это изменение. Импульс
тела является количественной характеристикой поступательного движения тел. За
единицу импульса в СИ принят импульс тела массой 1 кг, движущегося поступательно
со скоростью 1 м/с. Единицей импульса является килограмм-метр в секунду (кг*м/с).
Закон сохранения импульса. Выясним, как изменяются импульсы двух тел при их
взаимодействии.
Обозначим скорости тел массами m1 и m2 до взаимодействия через и , а после
взаимодействия — через и .
По третьему закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии,
равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить
и .
Для изменений импульсов тел при их взаимодействии на основании равенства (16.2)
можно записать
,
,
где t — время взаимодействия тел. Из этих выражений получаем
. (16.3)
Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна
векторной сумме их импульсов после взаимодействия.Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел — от планет и звезд
до атомов и элементарных частиц — показали, что в любой системе
взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других
тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил
геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.
Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему,
называется замкнутой системой.
В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной
при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса.
Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе
взаимодействующих тел является использование инерциальной системы отсчета.
Третий закон Ньютона: определение и формула
Сила действия равна силе противодействия. В этом и состоит суть третьего закона
Ньютона. Определение его таково: силы, с которыми два тела действуют друг на друга,
равны по величине и противоположны по направлению. Третий закон Ньютона можно
записать в виде формулы:
F_1 = - F_2,
Где F_1 и F_2 силы действия друг на друга соответственно первого и второго тела.
Справедливость третьего закона Ньютона была подтверждена многочисленными
экспериментами. Этот закон справедлив как для случая, когда одно тело тянет другое,
так и для случая, когда тела отталкиваются. Все тела во Вселенной взаимодействуют
друг с другом, подчиняясь этому закону.
Сила притяжения и гравитационный потенциал
Закон всемирного тяготения был сформулирован Исааком Ньютоном (1643-1727) и
опубликован в 1687 году. В соответствии с этим законом, два тела притягиваются друг к другу с
силой, которая прямо пропорциональна массам этих тел m1 и m2 и обратно пропорциональна
квадрату расстояния между ними:
Здесь r − расстояние между центрами масс данных тел, G − гравитационная постоянная, значение
которой, найденное экспериментальным путем, составляет .
Сила гравитационного притяжения является центральной силой, т.е. направлена вдоль прямой,
проходящей через центры взаимодействующих тел.
Сила трения.
Сила, возникающая в месте соприкосновения тел и препятствующая их
относительному перемещению, называется силой трения. Направление силы
трения противоположно направлению движения. Различают силу трения
покоя и силу трения скольжения.
Если тело скользит по какой-либо поверхности, его движению
препятствует сила трения скольжения.
, где N — сила реакции опоры, a μ — коэффициент трения
скольжения. Коэффициент μ зависит от материала и качества обработки
соприкасающихся поверхностей и не зависит от веса тела. Коэффициент
трения определяется опытным путем.Сила трения скольжения всегда направлена противоположно движению тела.
При изменении направления скорости изменяется и направление силы
трения.
Сила трения начинает действовать на тело, когда его пытаются сдвинуть с
места. Если внешняя сила F меньше произведения μN, то тело не будет
сдвигаться — началу движения, как принято говорить, мешает сила трения
покоя. Тело начнет движение только тогда, когда внешняя сила F превысит
максимальное значение, которое может иметь сила трения покоя
Трение покоя – сила трения, препятствующая возникновению движению
одного тела по поверхности другого.
В некоторых случаях трение полезно (без трения невозможно было бы ходить
по земле человеку, животным, двигаться автомобилям, поездам и т.д.), в
таких случаях трение усиливают. Но в других случаях трение вредно.
Например, из-за него изнашиваются трущиеся детали механизмов,
расходуется лишнее горючее на транспорте и т.д. Тогда с трением борются,
применяя смазку («жидкостную или воздушную подушку») или заменяя
скольжение на качение (поскольку трение качения характеризуется
значительно меньшими силами, нежели трение скольжения).
Силы трения, в отличие от гравитационных сил и сил упругости, не зависят от
координат относительного расположения тел, они могут зависеть от скорости
относительного движения соприкасающихся тел. Силы трения являются
непотенциальными силами.
Силой трения называют силу, которая возникает при движении одного тела по поверхности
другого. Она всегда направлена противоположно направлению движения. Сила трения прямо
пропорциональна силе нормального давления на трущиеся поверхности и зависит от свойств
этих поверхностей. Законы трения связаны с электромагнитным взаимодействием, которое
существует между телами.
Различают трение внешнее и внутреннее.
Внешнее трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся
твердых тел (трение скольжения или трение покоя).
Внутреннее трение наблюдается при относительном перемещении частей одного и того же
сплошного тела (например, жидкость или газ).
Различают сухое и жидкое (или вязкое) трение.
Сухое трение возникает между поверхностями твердых тел в отсутствие смазки.
Жидким (вязким) называется трение между твердым телом и жидкой или газообразной
средой или ее слоями.
Сухое трение, в свою очередь, подразделяется на трение скольжения и трение качения.2. Теплоемкость. Уравнение Майера. Зависимость теплоемкости газа от
температуры
Теплоемкость – способность тела изменять свою температуру при сообщении ему
теплоты.
Удельная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимой для
нагревания 1 кг. вещества на 1 К.
mdT
Q
cуд
Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимой для
нагревания 1 моля вещества на 1 К.
dT
Q
cм
м M уд c с
M
m
В термодинамике предпочитают использовать молярную теплоемкость C.
mdT dU pdVm для1 моля c
Различают 2 теплоемкости: при постоянном объеме и постоянном давлении.
При постоянном объеме газ не совершает работы, поэтому полученная теплота целиком
превращается в изменение внутренней энергии.
R
i
RdT i
dU
dT
dU C m
m
V
2 2
При постоянном давлении:
pdV RdT C R
dT
pdV C
dT
pdV
dT
dU C m V
m
V
m m
p
Cp
CV R - уравнение Майера.
Видно, что
Cp CV
. Причина в том, что постоянном давлении требуется еще
дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, т.к. постоянство
давления обеспечивается увеличением объема газа.
i
i
C
C
R R
i
C
V
p
p
2
2
Молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от
температуры. Это утверждение справедливо в довольно широком интервале температур лишь
для одноатомного газа. У двухатомного газа число степеней свободы зависит от температуры.
По закону распределения энергии по степеням свободы.
R R R
i
CV
2
7
2
3 2 2 1
2
, однако
эксперимент дает при 50К
CV R
2
3
, а при комнатной температуре
CV R
2
5
, и только при
очень высокой температуре
CV R
2
7
Это различие можно объяснить тем, что при низких температурах наблюдается только
поступательное движение, при комнатных добавляется вращательное, а при высоких еще и
колебательное. При вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения.
Билет 5
1.
Механическая система и ее центр масс. Уравнение изменения импульса механической
системы. Закон сохранения импульса механической системы.
Механическая система и ее центр масс.
Механическая система - совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое
целое.
Центр масс механичиской системы - воображаемая точка С, расположение которой
характеризует распределение масс в системе.
Центр масс механической системы движется, как материальная точка, в которой сосредоточена
вся масса системы и к которой приложены все силы действующие на систему.
Уравнение изменения импульса механической системы.
В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется
векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их
скорости: .
Закон сохранения импульса механической системы.
В замкнутой системе импульс сохраняется.
Другая формулировка: Суммарный импульс замкнутой системы остается постоянным по
модулю и направлению, хотя импульс каждого из тел системы может изменяться.
Доказательство:
Рассмотрим механическую систему из N тел, массы и скорости которых соответсвенно равны
m1, m2, ..., mN; V1, V2, ..., VN.
Запишем второй закон Ньютона для каждого из N тел механической системы:
CV T
50K 30K 60K
R
2
7R
2
5R
2
3где Fi - равнодействующая внутренних сил i-того тела системы, F - равнодействующая внешних
сил i-того тела системы.
Проведем почленное сложение уравнений:
(1)
Рассмотрим левую часть полученного выражения.
= =
где = представляет собой суммарный импульс всех тел системы, т.е. импульс
системы.
Первый член в правой части выражения (1) представляет собой векторную сумму внутренних
сил всех тел системы. По третьему закону Ньютона каждой внутренней силе F'mn соответствует
равная ей по модулю и противоположная по направлению сила F'nm, поэтому:
=0.
Выражение преобразуется к виду:
=
Производная от импульса системы по времени равна сумме внешних сил, действующих на
систему.
Если сумма (векторная) внешних сил равна нулю, или внешние силы отсутствуют, то:
, т.е. импульс сохраняется.
Дополнение:Импульсом (или количеством движения) материальной точки (тела) называется векторная
величина, численно равная произведению массы материальной точки (тела) на ее скорость и
меющая направление скорости: p = mV (единица импульса - 1 (кг*м/с)).
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz,
равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно
произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса Lz не зависит от положения
точки 0 на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка
тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростью vi. Скорость vi и
импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора mivi.
Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси z равен
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных
его точек:
Учитывая связь между линейной и угловой скоростями (vi = ωri), получим следующее
выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:
(4.12)
т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела
относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцировав выражение (4.12) по времени, получим:
(4.13)
Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно
неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси
вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.
Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики
вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в
следующем:
если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно
равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0 , откуда
(4.14)
Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение
4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:
если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен
нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е.
если Mz = 0, то dLz / dt = 0, откуда
(4.15)
Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы.
Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его
изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления
осей координат системы отсчета.
Справедливость закона сохранения момента импульса относительно неподвижной оси
вращения можно продемонстрировать на опыте со скамьей Жуковского. Скамьей Жуковского
называется горизонтальная площадка, свободно вращающаяся без трения вокруг неподвижной
вертикальной оси ОО1. Человек, стоящий или сидящий на скамье, держит в вытянутых руках
гимнастические гантели и приводится во вращение вместе со скамьей вокруг оси ОО1 с угловой
скоростью ω1. Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции системы, а так как
момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость ее
вращения ω2 возрастает. Тогда по закону сохранения момента импульса относительно оси
ОО1 можно записать:
(4.16)
где J0 - момент инерции человека и скамьи; 2mr1
2 и 2mr2
2
- моменты инерции гантелей в первом и
втором положениях; m – масса одной гантели; r1, r2 – расстояния от гантелей до оси ОО1.
Уравнение моментов:2. Цикл Карно
В тепловых двигателях стремятся достигнуть наиболее полного превращения тепловой
энергии в механическую. Максимальное КПД.
Французский физик С.Карно разработал работу идеального теплового двигателя.
Рабочую часть двигателя Карно можно представить себе в виде поршня в заполненном
газом цилиндре. Поскольку двигатель Карно — машина чисто теоретическая, то
есть идеальная, силы трения между поршнем и цилиндром и тепловые потери
считаются равными нулю. Механическая работа максимальна, если рабочее тело
выполняет цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Этот цикл
называют циклом Карно.
участок 1-2: газ получает от нагревателя количество теплоты Q1 и изотермически
расширяется при температуре T1
участок 2-3: газ адиабатически расширяется, температура снижается до температуры
холодильника T2
участок 3-4: газ экзотермически сжимается, при этом он отдает холодильнику
количество теплоты Q2
участок 4-1: газ сжимается адиабатически до тех пор, пока его температура не
повысится до T1.
Работа, которую выполняет рабочее тело - площадь полученной фигуры 1234.
Функционирует такой двигатель следующим образом:
1. Сначала цилиндр вступает в контакт с горячим резервуаром, и идеальный газ
расширяется при постоянной температуре. На этой фазе газ получает от горячего
резервуара некое количество тепла.
2. Затем цилиндр окружается идеальной теплоизоляцией, за счет чего количество
тепла, имеющееся у газа, сохраняется, и газ продолжает расширяться, пока его
температура не упадет до температуры холодного теплового резервуара.
3. На третьей фазе теплоизоляция снимается, и газ в цилиндре, будучи в контакте с холодным резервуаром, сжимается, отдавая при этом часть тепла холодному
резервуару.
4. Когда сжатие достигает определенной точки, цилиндр снова окружается
теплоизоляцией, и газ сжимается за счет поднятия поршня до тех пор, пока его
температура не сравняется с температурой горячего резервуара. После этого
теплоизоляция удаляется и цикл повторяется вновь с первой фазы.
КПД цикла Карно не зависит от вида рабочего тела
для холодильной машины
В реальных тепловых двигателях нельзя создать условия, при которых их рабочий
цикл был бы циклом Карно. Так как процессы в них происходят быстрее, чем это
необходимо для изотермического процесса, и в то же время не настолько быстрые, чтоб
быть адиабатическими.
Энтропия- связь между объемом при постоянном давлении и постоянной температуре.
Изохорный процесс
Изохорный процесс происходит при постоянном объёме, при этом давление идеального
газа прямо пропорционально его температуре
p/T=const.
Работу в этом процессе газ не совершает (т.к ΔV=0), соответственно Q= ΔU
Уравнение изохорного процесса (уравнение Шарля) может быть записано в виде:
p=Tp0/T0=p0αT
гдеp0 – давление газа при T = T0 = 273 К
α — температурный коэффициент объемного расширения газа, равный 1/273 К-1
Энтропия процесса
Т.к. в системе при изохорном процессе происходит теплообмен с внешней средой, то,
соответственно, происходит изменение энтропии. Из определения энтропии следует:
где
dS - изменение энтропии
dQ - изменение энергии
Формула для определения количества теплоты в диференциальном виде:
где
ν — количество вещества,
с
μ
ν — молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Малое изменение энтропии, в изохорном процессе, определяется по формуле:
А если проинтегрировать, то получим полное изменение энтропии в этом процессе:
Молярная теплоёмкость при V=const остается под знаком интеграла, т.к. является
функцией зависящей от температуры.
