Уравнение Эйлера

одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени

Уравнение с переменными коэффициентами вида

где , - постоянные числа, называется уравнением Эйлера. С помощью замены это уравнение сводится к уравнению с постоянными коэффициентами. В самом деле, имеем

Отсюда

Подставляя эти значения, получим уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции . Частными решениями этого уравнения, как мы показали выше, являются функции вида или , где - корень (простой и кратный) соответствующего характеристического уравнения. Таким образом, частные решения уравнения Эйлера сразу можно искать в форме .

Пример 8. Решим конкретное уравнение Эйлера . Будем искать частные решения в виде , тогда

Подставляя эти значения производных, получаем

Отсюда, если , то . Последнее уравнение имеет корень второй кратности. Значит, — решение уравнения Эйлера. Другое решение - , в чем можно убедиться непосредственно. Так как и линейно независимы (их определитель Вронского равен ), то

- общее решение данного уравнения Эйлера.