Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):
  ; |
(1) |
(все три переменные x, y, F - действительны). Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция 
, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка 
имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная. Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение
 ; |
(2) |
что: 1. Любое решение (2) 
относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:
 ; |
(3) |
и получать общее решение в форме
| ; |
(4) |
решённой относительно неизвестной функции.
14.2. ОДУ первого порядка.
14.2.1.Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
 ; |
(5) |
где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:
 ; |
(6) |
Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как
 ; |
(7) |
Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид 
или 
.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ КРИВАЯ
График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением 
, и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: 
. Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Начальные условия для дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений) – дополнительные к этому уравнению (системе) условия, налагаемые на искомую функцию (функции), отнесенные к некоторому (или нескольким) фиксированному значению аргумента (аргументов, если это уравнение в частных производных), которое объявлено начальным (скажем, моментом времени).
В частности, если вместе с обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка на неизвестную (искомую) функцию у = f(x) наложены дополнительные условия 
, (*)
то нахождение решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям (*), называется задачей Коши.
ЗАДАЧА КОШИ
Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную 
, то для любой точки 
в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
(О существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть
|
|
(1.5) |
- дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t,x) задана на некотором открытом множестве D плоскости R2(t,x) переменных t, x. Относительно функции f(t,x) будем предполагать, что она непрерывна на D и удовлетворяет на этом множестве условию Липшица (1.4) относительно x (равномерно по t). Теорема утверждает, что:
1) для всякой точки (t0, x0) О D найдется решение x = j(t) уравнения (1.5), удовлетворяющее начальному условию
|
|
(1.6) |
2) если два решения x = y(t) и x = c(t) уравнения (1.5) совпадают хотя бы для одного значения t1, т.е. если
|
то эти решения тождественно равны для всех значений переменного t, для которых они оба определены.
Таким образом, теорема утверждает, что координаты любой точки (t0, x0) множества D являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (1.5) и что два решения с общими начальными значениями совпадают на пересечении их интервалов определения.
Геометрическое содержание теоремы заключается в том, что через каждую точку (t0, x0) О D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения
