Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую в этой системе координат, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой. В качестве нормального вектора нашей прямой возьмем вектор единичной длины 
, с началом в точке O. Его координаты равны соответственно 
и 
, где 
и 
- углы между вектором и положительными направлениями координатных осей Ox и Oy соответственно, то есть, 
. В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмем точку А и будем считать, что она находится на расстоянии p единиц (
) от точки O в положительном направлении вектора (при p = 0 точка А совпадает с началом координат), то есть, 
.
Получим уравнение, которое задает эту прямую линию.
Очевидно, что точка 
лежит на рассматриваемой прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора 
на направление вектора равна p, то есть, при условии 
.
- радиус-вектор точки , следовательно, 
, что было показано в разделе координаты радиус-вектора точки. Тогда из определения скалярного произведения векторов мы получаем равенство 
, а это же скалярное произведение в координатной форме имеет вид 
. Следовательно, 
или 
. На этом вывод нормального уравнения прямой закончен.
Полученное уравнение вида называют нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Уравнение также называют уравнением прямой в нормальном виде.
