9 билет(6)

Теорема Коши́ о среднем значении.

Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что:

$f(x)$ и $g(x)$ определены и непрерывны на отрезке $[a,b]$ ;
производные $f'(x)$ и $g'(x)$ конечны на интервале $(a,b)$ ;
производные $f'(x)$ и $g'(x)$ не обращаются в нуль одновременно на интервале $(a,b)$
$g(a) neq g(b)$ ;

тогда существует $c in (a,b)$ , для которой верно:

$frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=frac{f'(c)}{g'(c)}$ .

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале $(a,b)$ .)

Геометрически это можно переформулировать так: если $f$ и $g$ задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр $t$ ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами $a$ и $b$ , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от $(f(a); g(a))$ до $(f(b); g(b))$ .

[править] Доказательство

Для доказательства введём функцию

$F(x) = f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).$

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны $f(a)$ . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка $c$ , в которой производная функции $F$ равна нулю, а $frac {f'(c)} {g'(c)}$ равна как раз необходимому числу.