8 билет(5)

Второй замечательный предел

$lim_{x to infty}left(1 + frac{1}{x}right)^x = e$ или $lim_{x to 0}left(1 + xright)^{1/x} = e$

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x [показать]

$blacktriangleleft$ Докажем вначале теорему для случая последовательности $x_{n} = left(1 + frac{1}{n}right)^n; nmathcal{2}~mathbb N$

По формуле бинома Ньютона: $(a + b)^n = a^n~+~frac{n}{1}cdot a^{n-1}cdot b~+~frac{n(n-1)}{1cdot 2}cdot a^{n-2}cdot b^2 ~+~ ... ~+~ frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1cdot 2cdot 3 cdot ... cdot n}cdot b^n; nmathcal{2}~mathbb N$

Полагая $a=1;~b=frac{1}{n}$ , получим:

$left(1 + frac{1}{n}right)^n = 1~+~frac{n}{1}cdotfrac{1}{n}~+~frac{n(n-1)}{1cdot2}cdot frac{1}{n^2}~+~frac{n(n-1)(n-2)}{1cdot2cdot3}cdotfrac{1}{n^3}~+~...~+~frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1cdot2cdot3cdot...cdot n}cdot frac{1}{n^n} =$ $=1~+~1~+~frac{1}{1cdot2}cdotleft(1-frac{1}{n}right)~+~frac{1}{1cdot2cdot3}cdotleft(1-frac{1}{n}right)cdotleft(1-frac{2}{n}right)~+~ ... ~+~ frac{1}{1cdot2cdot3cdot...cdot n}cdotleft(1-frac{1}{n}right)cdotleft(1-frac{2}{n}right)cdot...cdotleft(1-frac{n-1}{n}right) ~~~~~$ (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число $frac{1}{n}$ убывает, поэтому величины $left(1 - frac{1}{n}right), left(1-frac{2}{n}right), ...$ возрастают. Поэтому последовательность ${x_{n}} = left{left(1 + frac{1}{n}right)^nright}; nmathcal{2}Nu$ — возрастающая, при этом

$left(1 + frac{1}{n}right)^n > 2 ~~~~~$ (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

$left(1+frac{1}{n}right)^n < 1+1+frac{1}{1cdot2}+frac{1}{1cdot2cdot3}~+~...~+~frac{1}{1cdot2cdot3cdot ... cdot n}$

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

$left(1+frac{1}{n}right)^n<1+left(1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+...+frac{1}{2^{n-1}}right)$ .

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

$1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+...+frac{1}{2^{n-1}} = frac{1cdotleft(1-(frac{1}{2})^nright)}{1-frac{1}{2}}=2cdot left(1-frac{1}{2^n}right)<2$ .

Поэтому $left(1+frac{1}{n}right)^n<1+2=3~~~~~$ (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом $mathcal{8} nmathcal{2}~mathbb N$ выполняются неравенства (2) и (3): $2~<~left(1+frac{1}{n}right)^n~<~3$ .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность $x_{n} = left(1 + frac{1}{n}right)^n, nmathcal{2}~mathbb N$ монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. $lim_{n to infty}left(1 + frac{1}{n}right)^n = e$ $blacktriangleright$

$blacktriangleleft$ Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что $lim_{x to infty}left(1 + frac{1}{x}right)^x = e;xmathcal{2}~mathbb R$ . Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x rightarrow +mathcal{1}$ . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: $nleqslant x<n+1$ , где $~n = [x]$ — это целая часть x.

Отсюда следует: $frac{1}{n+1}<frac{1}{x}leqslant frac{1}{n}~~Longleftrightarrow~~1+frac{1}{n+1}<1+frac{1}{x}leqslant 1+frac{1}{n}$ , поэтому $left(1+frac{1}{n+1}right)^n<left(1+frac{1}{x}right)^xleqslant left(1+frac{1}{n}right)^{n+1}$ . Если $x rightarrow +mathcal{1}$ , то $n rightarrow mathcal{1}$ . Поэтому, согласно пределу $lim_{n to infty}left(1 + frac{1}{n}right)^n = e$ , имеем: $lim_{n to infty}left(1 + frac{1}{n+1}right)^n = frac{limlimits_{n to infty}(1 + frac{1}{n+1})^{n+1}}{limlimits_{n to infty}left(1 + frac{1}{n+1}right)} = frac{e}{1}=e$ $lim_{n to infty}left(1 + frac{1}{n}right)^{n+1} = lim_{n to infty}left(1 + frac{1}{n}right)^ncdot lim_{n to infty}left(1 + frac{1}{n}right)=ecdot 1=e$ . По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов $lim_{x to +infty}left(1 + frac{1}{x}right)^x = e$ .

2. Пусть $x to -infty$ . Сделаем подстановку $- x = t$ , тогда

$lim_{x to -infty}left(1 + frac{1}{x}right)^x = lim_{t to +infty}left(1 - frac{1}{t}right)^{-t}= lim_{t to +infty}left(frac{t}{t-1}right)^t = lim_{t to +infty}left(1 + frac{1}{t-1}right)^t =$ $= lim_{t to +infty}left(1 + frac{1}{t-1}right)^{t-1}cdot lim_{t to +infty}left(1 + frac{1}{t-1}right)^1 = ecdot1=e$ .

Из двух этих случаев вытекает, что $lim_{x to infty}left(1 + frac{1}{x}right)^x = e$ для вещественного x. $blacktriangleright$

Следствия

$lim_{u to 0}(1 + u)^frac{1}{u}=e$
$lim_{x to infty}left(1 + frac{k}{x}right)^x = e^k$
$lim_{x to 0}frac{ln(1 + x)}{x} = 1$
$lim_{x to 0}frac{e^x - 1}{x} = 1$
$lim_{x to 0}frac{a^x - 1}{x ln a} = 1$ для $a > 0 ,!$ , $a neq 1 ,!$
$lim_{x to 0}frac{(1 + x)^alpha - 1}{alpha x} = 1$