1 билет(5)

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества $X$ упорядоченного множества (или класса) $M$ , называется наименьший элемент $M$ , который равен или больше всех элементов множества $X$ . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается $sup X$ .

Более формально:

$S_X={yin Mmidforall xin X!:xleqslant y}$ — множество верхних граней $X$ , то есть элементов $M$ , равных или больших всех элементов $X$ $s=sup(X)iff sin S_Xandforall yin S_X!:sleqslant y.$

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества $X$ упорядоченного множества (или класса) $M$ , называется наибольший элемент $M$ , который равен или меньше всех элементов множества $X$ . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается $inf X$ .

Свойства

По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества $mathbb{R}$ , существует $sup$ .
По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества $mathbb{R}$ , существует $inf$ .
Вещественное число является тогда и только тогда, когда
1. $s$ есть верхняя грань $X$ то есть для всех элементов $xin X$ , $xleqslant s$ .
2. для любого $varepsilon>0$ найдётся $xin X$ , такой, что $x+varepsilon > s$ (то есть к $s$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $X$ )
Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.