9 Скалярное произведение

Скалярным произведением двух - векторов

называется число, равное произведению длин этих

векторов на косинус угла между ними. Если хоть один

из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное

произведение по определению считают равным пулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается

(а, b). Таким образом, мы можем записать  где -угол между векторами а и b. Очевидны следующие

свойства операции скалярного умножения:

1. Скалярное умножение коммутативно, т. е. для

любых векторов а и b справедливо равенство (а, b) = (b, а).

2. для любого' вектора а.

 3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только

тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы

один из них равен нулю.

4. Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют cоотношениям

П р е д л о ж е н и е 1. Если базисные векторы

ортогональны, то компоненты любого вектора а находятся

по формулам

В частности, если базис ортонормированяый, то

Действительно, пусть а = at + а 2Ч- ал, причем каждое

слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору.

Мы знаем т доказательства теоремы I § 1, что где выбирается знак плюс или минус в

зависимости от того,-одинаково или противоположно' направлены векторы  и .Но, как видно из

' рис. I I,  где угол между векторами  и . Итак 2, Аналогично вычисляются

и остальные компоненты.

Из предложения I следует*

что компоненты вектора в ортонормированном базисе равны проч.

нзведеииям его длины на. косинусы

углов, которые данный вектор составляет - с соответствующими базисными векторами.

Следующее свойство носит название линейности, скалярного произведения.