Обязательные 7.

Определение. Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называютколлинеарными векторами (рис. 2).

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

Определение. Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть  и  – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  (рис. 1).

 

 

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор  – диагональ параллелограмма – является суммой векторов  и  (рис. 2).

 

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

 

Рис. 3

Вычитание векторов. Разностью  векторов  и  называется такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор :  Û .

Если векторы  и  привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

 

Рис. 4

Таким образом, если на векторах  и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности  (рис. 5).

 

Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор  (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1)     ,

2)      при  и  при .

Очевидно, что при  .

Построим, например, векторы  и  для заданного вектора  (рис. 6).

Рис. 6

Из определения следует: два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :

                                                 (2.1)

Свойства линейных операций:

1)     ;

2)     ;

3)     ; ;

4)     ;

5)     ;

6)     ;

7)     ; ;

Пусть дан вектор . Ортом вектора  (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором .

Очевидно, для любого вектора .