Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции.
Определение 2. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви кривой.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты. Прямая x = aявляется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:
или 
.
(при этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при 
и
).
Замечание. Символом
обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a, символом
стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.
Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.
Пример 1. График функции y = ln x имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как
(рис. слева).
Горизонтальные асимптоты. Если
то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при 
, левая при 
и двусторонняя, если пределы при 
равны).
Пример 2. График функции
при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осьюOx), так как
Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку
Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.
Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
(1)
или
(2)
В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.
При совпадении пределов (1) и (2) прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).
Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.
Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Общая схема исследования функций
и построения их графиков
При исследовании функций и построении их графиков целесообразно пользоваться следующей схемой.
1. Нахождение области определения функции.
2. Исследование функции на четность и нечетность.
3. Установление области непрерывности функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.
4. Исследование поведения функции при 
(если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.
5. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.
6. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.
7. Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.
8. Построение графика функции.
