Первое достаточное условие экстремума
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции 
выполнены следующие условия:
- функция непрерывна в окрестности точки
; 
или 
не существует;- производная
при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке 
функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
- найти производную ;
- найти критические точки, то есть такие значения
, в которых 
или не существует; - исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
- найти значение функции в экстремальных точках.
Задание. Исследовать функцию 
на экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:
Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение 
:
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку 
. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так как при переходе через точку производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем
.
Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале 
производная 
, то на этом интервале функция является убывающей; на интервале 
производная 
, значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ. 
Второе достаточное условие экстремума
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
- она непрерывна в окрестности точки ;
- первая производная в точке ;
в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если 
, то в точке функция имеет минимум; если 
, то в точке функция достигает максимум.
Задание. Исследовать функцию 
на экстремум с помощью второй производной.
Решение. Находим первую производную заданной функции:
Находим точки, в которых первая производная равна нулю:
Вторая производная заданной функции:
В стационарной точке вторая производная
, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем 
.
Ответ.
