Функция  называется непрерывной в точке , если:

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Пусть даны две функции  и  , непрерывные в точке  . Рассмотрим их сумму, произведение и частное. Справедливы следующие теоремы:

►Теорема 24.Сумма двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывна в этой же точке.

►Теорема 25.Произведение двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывно в этой же точке.

►Теорема 26.Частное двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывно в данной точке, если значение знаменателя в данной точке не равно нулю.

Доказательство этих теорем следует из Определение 71 и соответствующих теорем о пределе суммы, произведения и частного в данной точке.

Пример 79.Докажите, что любая целая рациональная функция (многочлен)  непрерывна при всех действительных  .

Доказательство:из Пример 78 следует, что функция (константа) и  – непрерывны для всех действительных  , а из ►Теорема 24, ►Теорема 25 следует, что многочлен от переменной непрерывен при  .

Пример 80.Докажите, что рациональная функция  непрерывна при всех  , при которых  .

Доказательство:из Пример 79 следует, что  и  непрерывны при всех  , а из ►Теорема 26 следует, что частное  и  непрерывно при всех  , при которых  .

Рассмотрим композицию непрерывных функций.

►Теорема 27.Пусть функция  непрерывна при  , а функция  непрерывна при  , причем  . Тогда сложная функция  непрерывна в точке  .

Доказательство:зададим  . Так как функция  непрерывна в точке  , то найдется  такое, что из неравенства  следует  , но функция  непрерывна в точке  , значит найдется  такое, что из неравенства  вытекает неравенство  ; поскольку  ,  , то при  имеем  , а значит,  .

Это и значит, что функция  непрерывна в точке  .

Замечание. ►Теорема 27 обобщается на любое количество композиций непрерывных функций.

Пример 81.Докажите, что функция  непрерывна при всех действительных  .

Доказательство:пусть  произвольное действительное число, рассмотрим  и  ; преобразуем     , итак,      , а это означает (в силу Определение 70), что непрерывна при всех действительных  .

Конечно, к тому же выводу мы пришли бы, используя Определение 73. Действительно, неравенство  означает, что  ; значит,  и функция  – непрерывна при всех действительных  .