Функция 
называется бесконечно малой при 
(или в точке 
), если 
Подробная теория про бесконечно малые функции по ссылке.
Сравнение бесконечно малых функций
Определение
Пример
Функция 
является б.м. при 
, так как
Бесконечно малые функции одного порядка
Пусть и 
- две б.м. функции при .
Определение
Функции и называются б.м. одного порядка малости при , если 
Пример
Рассмотрим функции и 
, которые являются б.м. при :
Найдем предел отношения этих функций при :
Так как предел равен конечному, отличному от нуля числу, то рассматриваемые функции и являются б.м. одного порядка малости при .
Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков
Определение
Если 
, то является б.м. более высокого порядка при , чем , а - б.м. более низкого порядка по сравнению с : 
при .
Пример
Функция 
, 
является б.м. более высокого порядка, чем функция , 
в точке 
, так как
Определение
Если 
, то - б.м. низшего порядка малости при по сравнению с .
Пример
Рассмотрим функцию 
, которая является б.м. в точке 
:
, и б.м. в этой же точке функцию 
:
. Найдем предел частного этих функций:
А поэтому, функция является б.м. низшего порядка малости при 
, чем функция .
Определение
Если 
, то называется б.м. порядка 
по сравнению с при.
Пример
Функция называется б.м. порядка 2 по сравнению с функцией 
в точке, так как
, что и требовалось доказать.
Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции
Определение
Если 
, то б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при : 
при .
Пример
Функции 
и 
являются эквивалентными б.м. в точке , так как, во-первых:
а во-вторых:
, 
.- Если
и 
, то 
, 
. - Если и , то
. - Если
и 
и 
, то и 
или 
.
Следствие: а) если , то и 
.
б) если и , то 
.
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Пример. Найти предел 
.
Так как 
и 
при 
, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим: 
.
Если 
и 
- бесконечно малые при 
, причем - бесконечно малая более высокого порядка, чем, то 
- бесконечно малая, эквивалентная. Это можно доказать следующим равенством 
.
Тогда говорят, что - главная часть бесконечно малой функции 
.
