Вопрос 15. Бесконечно малые величины. Теорема о структуре сход. переменной.

Бесконечно малые.

Переменная $\alpha$ называется бесконечно малой, если для любого $\epsilon>0$ существует такое значение $\alpha_0$ , что каждое следующии за ним значение $\alpha$ будет по абсолютной величине меньше $\epsilon$ .

Если $\alha$ - бесконечно малая то говорят, что $\alha$ стремится к нулю, и пишут: $\alpha\to 0$ .

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть $\{{ x_n \}}$ ограниченная последовательность. Тогда $\exist m,M \in R$ : $m \le M$ , $\forall n \in N$ .

Рассмотрим множество таких вещественных чисел $x$ , что правее каждого из этих $x$ лежит не более,чем конечное число элементов последовательности $\{{ x_n \}}$ . Множество таких $x$ не пусто, т.к. $M \in$ $\{{ x_n \}}$ . Кроме того, множество таких элементов ограничено снизу любым числом, меньшим $m$

$\forall x \in$ $\{{ x \}}$ , $x \le m$

$\bar x = \inf \{{ x \}}$ .

Докажем, что $\bar x$ является частичным пределом последовательности $\{{ x \}}$ . Зададим произвольное $\varepsilon > 0$ ; $(\bar x - \varepsilon)$ $\in \{{ x \}}$ $\Rightarrow$ правее числа $(\bar x - \varepsilon)$ лежит бесконечно много элементов последовательности $\{{ x_n \}}$ . По определению $\inf \exist x : \bar x \le x < x + \varepsilon$ .

По определению множества элементов правее элемента $x$ лежит не более, чем конечное число элементов последовательности, а значит, на полуинтервале ( $\bar x - \varepsilon ; x$ ] $\exist$ бесконечно много элементов последовательности.

Тем более в окрестности ( $\bar x - \varepsilon ; x- \varepsilon$ ) содержится бесконечно много элементов последовательности. Это означает, что $\bar x$ - частичный предел последовательности, т.е. есть подпоследовательность, которая сходится.