Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
Þ 
.
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функцииf(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функцииg(x).
Þ 
.
Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.
.
Доказательство. f(x)=с, докажем, что 
.
Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое
положительное число. Тогда при 
.
Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
и 
.
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:
f(x)-A=
- б.м. при 
,
f(x)-B=
- б.м. при 
.
Вычитая эти равенства, получим:
B-A=
-
.
Переходя к пределам в обеих частях равенства при 
, имеем:
B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.
Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при 
, то и алгебраическая сумма имеет предел при 
, причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Доказательство. Пусть 
, 
, 
.
Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:
где 
- б.м. при
.
Сложим алгебраически эти равенства:
f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=
,
где 
б.м. при 
.
По теореме о связи предела и б.м. функции:
А+В-С=
.
Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при 
, то и произведение имеет предел при
, причем предел произведения равен произведению пределов.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
.
Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при 
,
причем 
, то и их частное имеет предел при 
, причем предел частного равен частному пределов.
, 
.
