Вопрос 9.Вещественные числа. Модуль и свойства.

Вещественные или действительные числа — это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается

Модуль вещественного числа и его свойства

Определение. Модуль вещественного числа — это само число , если $a\ge0$ , и противоположное число , если a <0 .

$|a|=\left\{ \begin{array}{ll} a,& a\ge0,\\ -a,& a <0. \end{array}\right.$

Свойства модуля

1. $||a|-|b||\le |a+b|\le|a|+|b|$ ,

$|a+b|=|a|+|b|\Leftrightarrow ab\ge0$ .

2. $|ab|=|a|\cdot|b|$ .

3. |a-b| — это расстояние между точками и на числовой оси.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что $|a+b|\le|a|+|b|$ .

Рассмотрим несколько случаев (в этих случаях по-разному раскрываются модули):

$\begin{array}{l} a,b\ge0,\\ |a+b|=a+b\quad |a|+|b|=a+b,\\ |a+b|\le|a|+|b|,\\ a,b<0,\\ |a+b|=-a-b\quad |a|+|b|=-a-b,\\ |a+b|\le|a|+|b|,\\ a\ge0,b<0,a+b>0,\\ |a+b|=a+b\quad |a|+|b|=a-b,\\ a+b<a-b,\\ |a+b|\le|a|+|b|,\\ a\ge0,b<0,a+b<0,\\ |a+b|=-a-b\quad |a|+|b|=a-b,\\ -a-b<a-b,\\ |a+b|\le|a|+|b|. \end{array}$

Левая часть неравенства получается, если в доказанном неравенстве заменить на a+b , — на , а затем — на a+b , а — на .

$\begin{array}{l} |ab|=|a|\cdot|b|,\\ a,b\ge0,\\ |ab|=ab\quad |a|\cdot|b|=ab\Rightarrow |ab|=|a|\cdot|b|,\\ a,b<0,\\ |ab|=(-a)\cdot(-b)=ab\quad |a|\cdot|b|=(-a)\cdot(-b)=ab,\\ a\ge0,b<0,\\ |ab|=a(-b)=-ab\quad |a|\cdot|b|=a(-b)=-ab,\\ |ab|=|a|\cdot|b|. \end{array}$