Обратная матрица

На множестве матриц не определена операция деления, она заменена умножением на обратную матрицу.

Свойства обратной матрицы:

1°    

2°    

3°    

4°    

Теорема 4.1. (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную A, т. е. AA  AA  E.  По  свойству  10 определителей имеем D(AA)   = D(A)D(А) D(E) = 1 и, следовательно, D(А)  0.

Достаточность. Пусть D(А)  0. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной. Ее элементами служат алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к матрице А:

.

Легко показать, что

.

Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу A, то произведения AA и AA  равны единичной матрице E  n-го порядка: AA AA  E.